题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其图象过点（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）．
（1）求φ的值及y=f（x）最小正周期；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $数学公式$ ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数PF₂在[0， $数学公式$ ]上的最大值和最小值．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin2xsin∅+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ cos∅= $\text{[math]}$ sin2xsin∅+ $\text{[math]}$ cos2xcos∅
= $\text{[math]}$ ，又函数的图象经过（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ -∅），∴cos（ $\text{[math]}$ -∅）=1．
∵0＜∅＜π，∴∅= $\text{[math]}$ ，故最小正周期等于 $\text{[math]}$ =π．
（2）由（Ⅰ）知f（x）= $\text{[math]}$ ，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，
纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，可知 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．
所以y=g（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可得，f（x）= $\text{[math]}$ ，又函数的图象经过（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），可得 cos（ $\text{[math]}$ -∅）=1，据
0＜∅＜π，得∅= $\text{[math]}$ ，故最小正周期等于 $\text{[math]}$ =π．
（2）由（Ⅰ）知f（x）= $\text{[math]}$ ，根据图象的变换可得 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，从而得到函数在[0， $\text{[math]}$ ]上的最大值和最小值．
点评：本题考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象变换，得到可知 $\text{[math]}$ ，是解题的难点．