Question

已知曲线C₁：y=

x2

e

+e（e为自然对数的底数），曲线C₂：y=2elnx和直线m：y=2x．
（I）求证：直线m与曲线C₁、C₂都相切，且切于同一点；
（II）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁、C₂及直线m分别交于M、N、P，记f（t）=|MP|-|PN|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值．

Answer 1

（I）对于曲线C₁：y=

x2

e

+e，设切点P（a，b），有

2a

e

=2∴a=e，故切点为P（e，2e），
切线：y-2e=2（x-e），即y=2x．所以直线m与曲线C₁相切于点P（e，2e）
同理可证直线m与曲线C₂也相切于点P（e，2e）．
（II）由题意易得M（t，

t2

e

+e），N（t，2eln^t），P（t，2t）
∴由两点间的距离公式可得|MP|=

t2

e

+e-2t，|PN|=2t-2eln^t，
∴f（t）=

t2

e

+2elnt-4t+e(e-3≤t≤e3)
f′(t)=

2t

e

+

2e

t

-4=

2(t-e)2

t

≥0
∴f（t）在[e^-3，e³]上单调增，故y_max=f（e³）=e⁵-4e³+7e．