Question

已知抛物线y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，当n=1，2，3，…时，该抛物线在x轴上所截得的线段长依次组成数列{a_n}，其顶点的纵坐标依次组成数列{b_n}，求．

Answer 1

【答案】分析：先设抛物线在x轴上的两个交点分别为：A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的两个根，利用根与系数的关系写出x₁+x₂，x₁•x₂，从而a_n和bn，利用拆项法求和a₁+…+a_n，b₁+…+b_n最后求出和的极限即可．
解答：解：设抛物线在x轴上的两个交点分别为：A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的两个根，
x₁+x₂=，x₁•x₂=
a_n=|x₁-x₂|===，
bn==（），
a₁+…+a_n=1-+-+…+=1-
b₁+…+b_n=（1-）
∴=lim （1-）=．
点评：本小题主要考查数列与解析几何的综合、抛物线的图象与性质、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．