题目内容
已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
=λ
（λ＞0）（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A1，B1且|
|，|
|，2|
|成等差数列求λ的值（3）设已知抛物线为C1：y2=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′．圆C2：x2+（y-4）=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C1′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′1于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．
【答案】分析：（1）先确定p=λ（x2-
），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（2）直线方程代入抛物线方程，求得A1、B1的横坐标，根据|
|，|
|，2|
|成等差数列，可得2|
|=|
|+2|
|，从而可得x2-2x1=
，由此可求λ的值；
（3）设过点P的圆C2的切线方程，可得PS，PT的斜率是方程的两根，利用韦达定理及向量的数量积，即可得到结论．
解答：解：依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y，
则F（
，0）准线方程为x=-
直线l的方程为y=k（x-
），M（-
，y），y2＞0
∵
=λ
，∴（p，-y）=λ（x2-
，y），故p=λ（x2-
）
（1）若λ=1，由p=λ（x2-
），y22=2px2，y2＞0，得x2=
，y2=
p，
∴B（
，
p）
∴直线l的斜率k=
=
；
（2）直线l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+
=0，则x1x2=
∵
，∴
=
∵|
|，|
|，2|
|成等差数列
∴2|
|=|
|+2|
|，
∴
∴x2-2x1=
将
和
代入上式得
，∴λ=2；
（3）设P（x，x2），S（x1，x12），T（x2，x22），由题意得x≠0，x≠±1，x1≠x2．
设过点P的圆C2的切线方程为y-x2=k（x-x），即y=kx-kx+x2．①
则
=1，
即（x2-1）k2+2x（4-x2）k+（x2-4）2-1=0．
设PS，PT的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以
k1+k2=
，k1k2=
．
将①代入y=x2，得x2-kx+kx-x2=0，
由于x是此方程的根，故x1=k1-x，x2=k2-x，
所以
=x1+x2=k1+k2-2x=
-2x，kNP=
．
由MP⊥AB，得kNP•kST=[
-2x]•
=-1，解得x2=
，
即点P的坐标为（
，
），所以直线l的方程为
．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；（2）直线方程代入抛物线方程，求得A1、B1的横坐标，根据|
|，||，2||成等差数列，可得2||=||+2||，从而可得x2-2x1=，由此可求λ的值；（3）设过点P的圆C2的切线方程，可得PS，PT的斜率是方程的两根，利用韦达定理及向量的数量积，即可得到结论．
解答：解：依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y，
则F（
，0）准线方程为x=-直线l的方程为y=k（x-
），M（-，y），y2＞0∵
=λ，∴（p，-y）=λ（x2-，y），故p=λ（x2-）（1）若λ=1，由p=λ（x2-
），y22=2px2，y2＞0，得x2=，y2=p，∴B（
，p）∴直线l的斜率k=
=；（2）直线l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+
=0，则x1x2=∵
，∴=∵|
|，||，2||成等差数列∴2|
|=||+2||，∴
∴x2-2x1=
将
和代入上式得，∴λ=2；（3）设P（x，x2），S（x1，x12），T（x2，x22），由题意得x≠0，x≠±1，x1≠x2．
设过点P的圆C2的切线方程为y-x2=k（x-x），即y=kx-kx+x2．①
则
=1，即（x2-1）k2+2x（4-x2）k+（x2-4）2-1=0．
设PS，PT的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以
k1+k2=
，k1k2=．将①代入y=x2，得x2-kx+kx-x2=0，
由于x是此方程的根，故x1=k1-x，x2=k2-x，
所以
=x1+x2=k1+k2-2x=-2x，kNP=．由MP⊥AB，得kNP•kST=[
-2x]•=-1，解得x2=，即点P的坐标为（
，），所以直线l的方程为．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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，它们在
轴上有共同焦点，抛物线的顶点为坐