Question

15．已知函数f（x）=a^x-log_ax，要使f（x）恒有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，e${\;}^{\frac{1}{e}}}$）
• B． （1，e]
• C． （1，e²）
• D． （e${\;}^{\frac{1}{e}}}$，e²）

Answer 1

分析 由f（x）=0得a^x=log_ax，构造函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax，关于y=x对称，只需要讨论与y=x有两个解即可，构造函数h（x）=a^x-x，求函数的导数，只须h（x）的最小值小于0，即可．

解答 解：由f（x）=0得a^x=log_ax，
设函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax，则两个函数关于y=x对称，只需要讨论与y=x有两个解即可，
令h（x）=a^x-x，则函数h（x）有两个零点，
当0＜a＜1时，函数h（x）为减函数，至多有一个零点不满足要求，
当a＞1时，令h′（x）=a^xlna-1=0，则x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$，
当0＜x＜${log}_{a}\frac{1}{lna}$时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数；
当x＞${log}_{a}\frac{1}{lna}$时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
故当x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$时，函数h（x）取最小值
若函数h（x）有两个零点，则h（${log}_{a}\frac{1}{lna}$）＜0，
即${a}^{{log}_{a}\frac{1}{lna}}＜{log}_{a}\frac{1}{lna}$，
即$\frac{1}{lna}={log}_{a}e＜{log}_{a}\frac{1}{lna}$，
即$e＜\frac{1}{lna}$，
即$0＜lna＜\frac{1}{e}$，
即$1＜a＜{e}^{\frac{1}{e}}$，
故实数a的取值范围是（1，e${\;}^{\frac{1}{e}}$），
故选：A

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，反函数，导数法判断函数的单调性，导数法求函数的最值，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量大，属于难题．