Question

已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3，问：是否存在常数（t≥0）t，当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

Answer 1

分析：由已知中二次函数的解析式为f（x）=x²-16x+q+3，我们可得x∈[t，10]时，f（x）的值域可能为[f（8），f（t）]，或[f（8），f（10）]，或[f（t），f（10）]，然后根据值域的长度为12-t．构造方程，解方程即可得到答案．

解答：解：当

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t
即t²-15t+52=0
∴t=

15± 17

2

，经检验t=

15+ 17

2

不合题意，舍去．
当

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q-61，q-57]
∴q-57-（q-61）=4=12-t
∴t=8
经检验t=8不合题意，舍去
当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-（t²-16t+60）=12-t
∴t²-17t+72=0
∴t=8或t=9
经检验t=

15- 17

2

或8或t=9满足题意，
所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数在定区间上的值域，分类讨论t取不同值时，函数f（x）的值域，将问题转化为方程问题是解答本题的关键．