Question

已知动直线l与椭圆C：交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两不同点，且△OPQ的面积，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则，
由在椭圆上，则，
而，则，
于是，；
当直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，
代入可得，
即，△＞0，
即，
，
，
，
，
则，满足△＞0，
，
；
综上可知，。
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知；
当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知，
，
，
，
，
当且仅当，即时等号成立；
综上可知的最大值为。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点D，E，G，使得，
由（Ⅰ）知，
，
解得，，
因此只能从中选取，只能从±1中选取，
因此D，E，G只能从中选取三个不同点，
而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，
故椭圆上不存在三点D，E，G，使得。