Question

已知两个向量e₁，e₂满足|e₁|＝2，|e₂|＝1，e₁，e₂的夹角为60°.

(1)若向量2te₁＋7e₂与向量e₁＋te₂的方向相反，求实数t的值；

(2)若向量2te₁＋7e₂与向量e₁＋te₂的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题意设2te₁＋7e₂＝λ(e₁＋te₂)(λ＜0)，

∴消去λ，解得2t²＝7.

若t＝－，则λ＝－；

若t＝，则λ＝＞0，则t＝不合题意，舍去．

∴当t＝－时，2te₁＋7e₂与向量e₁＋te₂的夹角为π，即这两个向量方向相反．

(2)因为e＝4，e＝1，e₁·e₂＝2×1×cos60°＝1，所以(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)＝2te＋(2t²＋7)e₁·e₂＋7te＝2t²＋15t＋7.

因为这两个向量夹角为钝角，设夹角为θ，则有cosθ＝∈，

所以有(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)＜0，且2te₁＋7e₂与向量e₁＋te₂不反向．

当2t²＋15t＋7＜0时，解得－7＜t＜－.

又由(1)知t＝－时，这两个向量的夹角为π.

∴t的取值范围是