Question

已知圆，椭圆，若C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A，B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，
（I）设P为圆C₁上的一点，求三角形△ABP的最大面积；
（II）求直线AB与椭圆C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设圆的半径为r，易知点P到直线AB的最大距离为半径限度r，|AB|=2r，面积的最大值为，代入可求
（Ⅱ）由，可得得a²=2b²，于是椭圆C₂的方程为x²+2y²=2b²．设直线AB的方程为y-1=k（x-2）．联立方程，根据方程的根与系数关系及AB的中点横坐标为2可求K，代入弦长公式可求直线AB的方程及b的值，进而可求椭圆方程
解答：解：（Ⅰ）设圆的半径为r，易知点P到直线AB的最大距离为半径限度r，|AB|=2r
故面积的最大值为
（Ⅱ）由，得a²=2b²，
于是椭圆C₂的方程为x²+2y²=2b²．
设直线AB的方程为y-1=k（x-2）．
由得（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（2k-1）²-2b²=0，
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，即，得k=-1．
因此直线AB的方程为y=-x+3．此时，①式即为3x²-12x+18-2b²=0，
那么．
从而b²=8，椭圆方程为x²+2y²=16，故所求的直线与椭圆方程分别为y=-x+3与x²+2y²=16．
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交的应用，解题中要注意方程根与系数的应用，体会方程的思想在解题中的应用．