Question

已知圆C1：(x-2)2+(y-1)2=

20

3

，椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，若C₂的离心率为

2

2

，如果C₁与C₂相交于A，B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，
（I）设P为圆C₁上的一点，求三角形△ABP的最大面积；
（II）求直线AB与椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆的半径为r，易知点P到直线AB的最大距离为半径限度r，|AB|=2r，面积的最大值为S=

1

2

|AB|•r，代入可求
（Ⅱ）由e=

2

2

，可得得a²=2b²，于是椭圆C₂的方程为x²+2y²=2b²．设直线AB的方程为y-1=k（x-2）．联立方程，根据方程的根与系数关系及AB的中点横坐标为2可求K，代入弦长公式AB=

(1+k2)(x1-x2)2

可求直线AB的方程及b的值，进而可求椭圆方程

解答：解：（Ⅰ）设圆的半径为r，易知点P到直线AB的最大距离为半径限度r，|AB|=2r
故面积的最大值为SMAX=0.5|AB|r=r2=

20

3

（Ⅱ）由e=

2

2

=

c

a

=

a2-b2 a2

，得a²=2b²，
于是椭圆C₂的方程为x²+2y²=2b²．
设直线AB的方程为y-1=k（x-2）．
由

y-1=k(x-2) x2+2y2=2b2

得（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（2k-1）²-2b²=0，
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2

2

=2，即

-4k(1-2k)

2(1+2k2)

=2，得k=-1．
因此直线AB的方程为y=-x+3．此时，①式即为3x²-12x+18-2b²=0，
那么|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

19-4× 18-2b2 3

=2

20 3

．
从而b²=8，椭圆方程为x²+2y²=16，故所求的直线与椭圆方程分别为y=-x+3与x²+2y²=16．

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交的应用，解题中要注意方程根与系数的应用，体会方程的思想在解题中的应用．