Question

已知F是椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点，点P是椭圆C₁上的动点，点Q是圆C₂：x²+y²=a²上的动点．
（1）试判断以PF为直径的圆与圆C₂的位置关系；
（2）在x轴上能否找到一定点M，使得

QF

QM

=e （e为椭圆的离心率）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）说明圆与圆的位置关系，只需说明其圆心距与半径之间的关系，由题意易得以PF为直径的圆与圆C₂内切．
（2）先假设存在，转化为封闭型命题，从而有2（c-e²x）x₀+e²a²+e²x²-a²-c²=0，要使其恒成立，必然有要c-e²x=0，从而问题得解．

解答：解：（1）取PF的中点记为N，椭圆的左焦点记为F₁，连接ON，则ON为△PFF₁的中位线，所以ON=

1

2

PF1．又由椭圆的定义可知，PF₁+PF=2a，从而PF₁=2a-PF，故ON=

1

2

PF1=

1

2

(2a-PF)=a-

1

2

PF．
所以以PF为直径的圆与圆C₂内切．
（2）设椭圆的半焦距为c，M （x，0），Q （x₀，y₀），F （c，0），
由

QF

QM

=e，得QF²=e²QM²，即（x₀-c）²+y₀²=e²[（x₀-x）+y₀²]．
把x₀²+y₀²=a²代入并化简整理，得2（c-e²x）x₀+e²a²+e²x²-a²-c²=0，
要此方程对任意的Q （x₀，y₀）均成立，只要c-e²x=0即可，
此时x=

c

e2

=

a2

c

．所以x轴上存在点M，使得

QF

QM

=e，M的坐标为（

a2

c

，0）．

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，对于存在性命题，通常是假设存在，从而转化为封闭型命题，以此为条件进行求解．