Question

（2012•安徽模拟）已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S₃=39．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若在a_n与a_n+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求证：

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

＜

5

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=3，S₃=39，知1+q+q²=13．故q=3，或q=-4，由此能求出an=3n．
（Ⅱ）由an=3n，知an+1=3n+1，由题知：a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则dn=

2×3n

n+1

．由上知：

1

dn

=

n+1

2×3n

，所以Tn=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

=

2

2×3

+

3

2×32

+…+

n+1

2×3n

，由此利用错位相减法能够证明

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

＜

5

8

．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=3，S₃=39，∴q≠1，

3(1-q3)

1-q

=39，
∴1+q+q²=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故an=3n．…（6分）
（Ⅱ）∵an=3n，则an+1=3n+1，由题知：
a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则dn=

2×3n

n+1

．
由上知：

1

dn

=

n+1

2×3n

，
所以Tn=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

=

2

2×3

+

3

2×32

+…+

n+1

2×3n

，

1

3

Tn=

2

2×32

+

3

2×33

+…+

n+1

2×3n+1

，
所以

2

3

Tn=

1

3

+

1

2

(

1

3 2

+

1

3 3

+…+

1

3 n

)-

n+1

2×3n+1

=

1

3

+

1

2

×

1 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

n+1

2×3n+1

=

5

12

-

5+2n

4×3n+1

，
所以Tn=

5

8

-

5+2n

8×3n

＜

5

8

．
故

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

＜

5

8

．…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，证明数列的前n项和小于定值．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．