Question

已知函数=(a＞1).

(1)证明：函数在（-1，+∞）上为增函数；

（2）用反证法证明方程=0没有负数根.

Answer 1

解析：（1）任取x₁,x₂∈(-1,+∞)，不妨设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，＞1，且＞0，

∴-=(-1)＞0.

又∵x₁+1＞0,x₂+1＞0，

∴-==＞0.

于是-=-+-＞0,

故函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数.

（2）证法一：设存在x₀＜0（x₀≠-1）,满足=0，则=，且0＜＜1,

∴0＜＜1，即＜x₀＜2.与假设x₀＜0矛盾，故方程=0没有负数根.

证法二：设存在x₀＜0(x₀≠-1)，满足=0，

①若-1＜x₀＜0，则，＜1，

∴＜-1与=0矛盾.

②若x₀＜-1，则＞0，＞0,∴＞0与=0矛盾.

故方程f(x)=0没有负数根.