Question

已知函数a＞1，y=

a

a2-1

(ax-a-x)．
（1）判断函数的奇偶性和单调性；
（2）当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=-f（x），故函数为奇函数．再由题意可得

a

a2-1

＞0，函数t=a^x在R上是增函数，函数t=-

1

ax

 在R上也是增函数，可得所给的函数在R上是增函数．
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得，f（1-m）＜-f（1-m²）=f（ m²-1），故有 1-m＜m²-1，-1＜1-m＜1，
-1＜m²-1＜1，由此求得m的取值范围．

解答：解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称．令y=f(x)= 

a

a2-1

(ax-a-x)，
f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），故函数为奇函数．
由于a＞1，∴

a

a2-1

＞0，函数t=a^x在R上是增函数，函数t=-

1

ax

 在R上也是增函数，
故y= 

a

a2-1

(ax-a-x)在R上是增函数．
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得，f（1-m）＜-f（1-m²）=f（ m²-1），
∴1-m＜m²-1，-1＜1-m＜1，-1＜m²-1＜1，解得1＜m＜

2

，
故m的取值范围是（1，

2

）．

点评：本题主要考查指数型函数的性质以及应用，函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．