Question

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，AB=，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中AB⊥侧面BB₁C₁C，易得AB⊥BC₁，又由，解△BC₁C得C₁B⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理，即可得到C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，我们易得B₁E⊥平面ABE，BE⊥B₁E，设CE=x，则C₁E=2-x，由余弦定理，我们易判断E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁
（III）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M，连DF，DN，MN，MF，则MNDF为矩形，MD∥AE，由A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁故∠MDF为所求二面角的平面角，解Rt△DFM中，即可得到二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．
解答：证明：（Ⅰ）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁
在△BC₁C中，
由余弦定理有
故有BC²+BC₁²=CC₁²
∴C₁B⊥BC
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC
∴C₁B⊥平面ABC

（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE
从而B₁E⊥平面ABE且BE?平面ABE故BE⊥B₁E
不妨设CE=x，则C₁E=2-x，则BE²=1+x²-x
又∵则B₁E²=1+x²+x
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4从而x=±1（舍负）
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁
（Ⅲ）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M

连DF则DF∥A₁B₁，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A₁B₁
连MF则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁故∠MDF为所求二面角的平面角
在Rt△DFM中，

∴
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，其中熟练掌握空间直线与平面的平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答此类问题的关键．