Question

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=C₁C，∠BCC₁=

π

3

，
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的条件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁AB⊥，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC；则需要通过解三角形来证明；
（2）要确定E点的位置，使得EA⊥EB₁，由三垂线定理，必有BE⊥B₁E，通过解直角三角形BEB₁解决；
（3）需要作出二面角的平面角，通过解三角形解决．

解答：证明：（1）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

由余弦定理有：
BC1=

BC2+CC12-2•BC•CC1 • cos∠BCC1

=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

，
故有BC²+BC₁²=CC₁²∴C₁B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；

（2）EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
从而B₁E⊥平面ABE，且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨设CE=x，则C₁E=2-x，则BE²=1+x²-x，
又∵∠B1C1C=

2

3

π则B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁，

（3）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M
连DF，则DF∥A₁B₁，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A₁B₁，
连MF则MF∥BE，且MN∥DF，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，AE⊥EB₁，故DF⊥EB₁，MD⊥EB₁，∠MDF为所求二面角的平面角，
在Rt△DFM DF=

1

2

A1B1=

2

2

(∵△BCE为正三角形）
MF=

1

2

BE=

1

2

CE=

1

2

∴tan∠MDF=

1 2

2 2

 =

2

2

．

点评：本题考查线面垂直、线线垂直、二面角的求法，是立体几何常考的问题，对于本题，通常的几何推导、向量法都不好用，而选择使用计算来证明线线关系，也是常用的证明方法之一，要根据条件适当选择．