题目内容
已知△ABC 的内角A、B、C所对的边为a，b，c，
=(bsinA，a-acosB)，
=(2，0)，且
与
所成角为
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
| m |
| n |
| m |
| n |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
分析：（Ⅰ）通过
与
所成角为
．推出A，B的关系式，利用正弦定理化简，通过两角和的正弦函数，求出角B的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的B的大小，推出A+C是值，把sinA+sinC化为一个角的三角函数的形式，然后求解它的取值范围．
| m |
| n |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）的B的大小，推出A+C是值，把sinA+sinC化为一个角的三角函数的形式，然后求解它的取值范围．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
=(bsinA，a-acosB)与向量
=(2，0)所成角为
，∴
=
，
由正弦定理可得：
=
∴
=
，∴
sinB+cosB=1，∴sin(B+
)=
．
又∵0＜B＜π，
∴
＜B+
＜
∴B+
=
，
∴B=
…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=
，∴A+C=
∴sinA+sinC=sinA+sin（
-A）=
sinA+
cosA=sin（
+A）．
∵0＜A＜
，∴
＜A+
＜
．
所以sinA+sinC的范围为(
，1]．…（12分）
解：（Ⅰ）∵
| m |
| n |
| π |
| 3 |
| a-acosB |
| bsinA |
| 3 |
由正弦定理可得：
| sinA-sinAcosB |
| sinBsinA |
| 3 |
∴
| 1-cosB |
| sinB |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
又∵0＜B＜π，
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴B+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴B=
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sinA+sinC=sinA+sin（
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵0＜A＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以sinA+sinC的范围为(
| ||
| 2 |
点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力．
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