Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，B=

π

3

．
（1）求sinA的值；  
（2）求cos2C的值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

可求sinA，
（2）由a＜b，可求得0＜A＜B＜

π

2

，结合（1）中sinA及同角平方关系可求cosA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A，再结合三角形的内角和定理及和差角公式即可求解

解答：解：（1）：∵a=1，b=2，B=

π

3

，
依据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，
即

1

sinA

=

2

3 2

，解得sinA=

3

4

（2）解：∵a＜b，
∴0＜A＜B＜

π

2

．
∴cosA=

1-sin2A

=

13

4

．
∴sin2A=2sinAcosA=

39

8

，
∴cos2A=1-2sin2A=

5

8

．
∵A+B+C=π，
∴C=

2π

3

-A．
∴cos2C=cos(

4π

3

-2A)=cos

4π

3

cos2A+sin

4π

3

sin2A
=-

1

2

×

5

8

-

3

2

×

39

8

=-

5+3 13

16

．

点评：本题主要考查了正弦定理、同角平方关系及二倍角公式、和差角公式的简单应用．