Question

7．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，给出以下四个论断：
①$\frac{tanA}{tanB}$=1； ②1＜sinA+sinB≤$\sqrt{3}$；③sin²A+cos²B=1；④cos²A+cos²B=sin²C
其中正确的序号是④．

Answer 1

分析 已知式子变形可得A+B=90°，逐个选项判定即可．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，∴A+B=90°．
∴$\frac{tanA}{tanB}$=tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°）
∵45°＜A+45°＜135°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，②不正确；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1，不一定成立，故③不正确．
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，④正确．
综上知④正确
故答案为：④

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题．