Question

16．已知关于x的不等式|x-1|+|x-5|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）当a=64时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=64时，原不等式为|x-1|+|x-5|≤6，分类讨论求得它的解集．
（2）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为4，可得log₂a≥4，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=64时，原不等式为|x-1|+|x-5|≤6，
当x＜1时，原不等式为6-2x≤6，可得0≤x＜1；
当1≤x≤5时，原不等式为4≤6，可得1≤x≤5；
当x＞5时，2x-6≤6，得5＜x≤6，
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤6}．
（2）设f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-x+5|=4，
∴f（x）∈[4，+∞），即f（x）的最小值为4，
若使f（x）≤log₂a有解，只需log₂a≥f（x）_min，即log₂a≥4，解得a≥16，
∴实数a的取值范围为[16，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，对数不等式的解法，属于中档题．