Question

为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求出最小值．

Answer 1

（1）;（2）即隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．

试题分析：（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系： (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到C(x)＝．建造费用为C₁（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
（1）当时，，，         2分
            4分
（2），                  5分
设，.
当且仅当这时，因此的最小值为70.
即隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．   8分
（本题亦可用导数求解）