题目内容
【题目】某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量
与尺寸
之间满足关系式
（
为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
（1）求
关于
的回归方程；（提示：
与
有线性相关关系）
（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率.
参考数据及公式：
，
，
，
对于样本
（
），其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
【答案】（1）
（2）
【解析】分析：（1）对
两边取自然对数得
，令
，
，结合线性回归方程的计算公式可得回归方程为.
（2）由题意可得优等品有3件.由题意可知从6件合格品中选出3件的方法数共20种；其中恰 好有2件为优等品的取法共9种；则恰好取得两件优等品的概率为.
详解：（1）对两边取自然对数得，
令，，得：
，
，
，
解得：
，所以
，回归方程为.
（2）令
，解得：
，∴
，即优等品有3件.
设“恰好取得两件优等品”记为事件
，记优等品为
，其余产品为1，2，3，
则从6件合格品中选出3件的方法数为：
, 
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共20种；
其中恰 好有2件为优等品的取法有：，，，，，，，，，共9种；
所以，恰好取得两件优等品的概率为
.
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