Question

（08年西城区抽样测试文）（14分）

如图，在三棱锥中，，

，平面平面.    

（Ⅰ）求证：；                   

（Ⅱ）求的长度；

（Ⅲ）求二面角的大小 .

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）证明： 平面平面，平面平面，

且，

.           ………….. 3分

，

.                  ………….. 4分

（Ⅱ）解：，

.

，

.                                    … 7分

平面，

，

.                          ………….. 9分

（Ⅲ）解：

作于点，于点，连结.

 平面平面，

，      根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.                     .. 12分

在中， ，

易知，  ，                …….. 13分

即二面角的大小是.                    ….. 14分

解法二：

作于点，

 平面平面，

.

过点作的平行线，交于点.

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系 .   ………….. 2分

，

.

，

.

 .. 4分

（Ⅰ）证明：

 

.                                         ….. 7分

（Ⅱ）解：

  

，

即线段的长度为.                              ……….. 10分

（Ⅲ）解：

作于点，连结.

，根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.                  …….. 12分

在中， ，

  从而，

，                        ….. 13分

即二面角的大小是.                   ….. 14分