Question

如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A、B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.

Answer 1

思路解析：所求二面角的平面角就是图中直线AC、BD所成的角.因此，利用向量的数量积求出这个角.

解：如题图，AC=a,BD=b,CD=c,AB=d.

根据向量的加法法则，=++.

d²==(++)²=a²+c²+b²+2·

＝a²+c²+b²-2·.

于是，得2·=a²+c²+b²-d².

设向量与的夹角为θ，θ就是库底与水坝所成的二面角.

因此2abcosθ=a²+c²+b²-d²，

所以cosθ=

即库底与水坝所成的二面角的余弦值为

方法归纳  立体几何中的夹角，都可以转化为两个向量的夹角.向量u和v的夹角θ满足关系式cosθ=.立体几何中有关夹角问题，经常用空间向量的数量积解决.