Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．（参考公式：sin2

α

2

=

1-cosα

2

，cos2α=2cos2α-1）
（1）求角A的度数；    
（2）若a=

3

，b+c=3，求b和c的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理表示出cosA，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，与b+c的值联立即可求出b与c的值．

解答：解：（1）由题设得2[1-cos（B+C）]-（2cos²A-1）=

7

2

，
∵cos（B+C）=-cosA，
∴2（1+cosA）-2cos²A+1=

7

2

，
整理得（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，
∴A=60°；
（2）∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

9-2bc-3

2bc

=

6-2bc

2bc

=

1

2

，
∴bc=2，
又∵b+c=3，
∴b=1，c=2或b=2，c=1．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．