Question

（本小题共12分）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
V（t）＝
（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.

Answer 1

（Ⅰ）枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

试题分析：（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整．
（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值，最后注意作答
解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(-t²+14t-40)化简得t²-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,化简得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12　 .综合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V′（t）= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e²+50-108.52(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
点评：解决该试题的关键是一元二次不等式的求解以及运用导数的思想来判定函数 单调性，进而得到极值，求解最值。