Question

对任意定义域为D的函数f（x），按如右程序框图构造一个数列发生器．定义f(x)=

x-1

x+3

，x_n+1=f（x_n）
（1）若输入x1=-

5

3

，则由此数列发生器产生一个数列{x_n}，请写出数列{x_n}的所有项．
（2）此数列发生器能产生一个无穷的常数数列吗？如能，请写出输入的初始数据x₁；若不能，请说明理由．
（3）若输入的初始数据x₁=1，试猜想此数列发生器产生的数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用 f(x)=

x-1

x+3

，x1=-

5

3

及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{x_n}的只有三项；
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有 x=

x-1

x+3

，从而求出相应的初始数据x的值；
（3）计算：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，…再猜想：xn=

2

n

-1．

解答：解：（1）x1=-

5

3

，
∴x2=

- 5 3 -1

- 5 3 +3

=-2，
x3=

-2-1

-2+3

=-3，
∴数列{x_n}的所有项为：-

5

3

，-2，-3（3分）
（2）若要产生常数列，则x=

x-1

x+3

，
得x=-1（7分）
∴此数列发生器能产生一个无穷的常数数列，输入的初始数据x₁=-1；
（3）计算：

x1=1= 2 1 -1，x2=0= 2 2 -1，x3=- 1 3 = 2 3 -1， x4=- 1 2 = 2 4 -1，x5=- 3 5 = 2 5 -1

（10分）
猜想：xn=

2

n

-1．（15分）

点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．