Question

以下四个命题：
①已知A、B为两个定点，若|PA|+|PB|=k（k为常数），则动点P的轨迹为椭圆．
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点．
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，则动点P的轨迹为椭圆；
其中真命题的序号为

②③

．

Answer 1

分析：根据椭圆的定义判断①是否正确；
求出双曲线与椭圆的焦点坐标判断②是否正确；
解出方程的根，根据双曲线与椭圆的离心率的范围判断③是否正确；
利用代入法求轨迹方程，判断④是否正确．

解答：解：①根据椭圆的定义，当K≤|AB|时，动点P的轨迹不是椭圆，∴①错误；
②双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±

34

，0），∴②正确；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别2和

1

2

，∴③正确；
④根据向量加法的平行四边形法则P为AB的中点，在单位圆x²+y²=1，设P（x，y），A（-1，0），B（x₁，y₁）
x₁=2x+1，y₁=2y代入圆的方程得（2x+1）²+（2y）²=1，轨迹是圆，∴④错误．
故答案是②③

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查椭圆的定义、圆锥曲线的性质及求轨迹方程．