Question

在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-，三个内角A、B、C满足2sinB=．
（1）求顶点B的轨迹方程；
（2）过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈（0，时，求△APQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2sinB=，根据正弦定理得2b=，结合b=2，可得a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，可求
（2）设PQ方程为y=tanθ（x+）联立直线与椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据方程的根与系数关系可求得x₁+x₁，x₁x₂，然后可求|PQ|及点A到PQ的距离d，代入可求△ABC的面积，由基本不等式可求最大值
解答：解：（1）因为2sinB=，根据正弦定理得2b=
又b=2，所以a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，其方程为
（2）设PQ方程为y=tanθ（x+），θ∈（0，
由得（1+4tan²θ）x²+8xtan²θ+12tan²θ-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=，
又|PQ|=，点A到PQ的距离d=，θ∈（0，
S_△ABC=≤2
当且仅当时取等号，△APQ的最大面积为2．
点评：本题主要考查了由三角形的正弦定理求解点的轨迹方程，直线与曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合试题