Question

在直角坐标系内，O为坐标原点，向量

OA

=(1，4)，

OB

=(5，10)，

OC

=(2，k)．
（1）若点A、B、C能构成三角形，且∠B为直角，求实数k的值；
（2）若点A、B、C能构成以AB为底边的等腰三角形，求∠ACB的余弦值．

Answer 1

分析：（1）

BC

=(-3，k-10)，

BA

=(-4，-6)，利用

BC

•

BA

=12-6(k-10)=0，能求出k的值．     
（2）由

CA

=(-1，4-k)，点A、B、C能构成以AB为底边的等腰三角形，知9+（k-10）²=1+（4-k）²，由此求出k=

23

3

，能够推导出∠ACB的余弦值．

解答：解：（1）∵

BC

=(-3，k-10)，

BA

=(-4，-6)；
∴

BC

•

BA

=12-6(k-10)=0，
∴k=12．     
（2）

CA

=(-1，4-k)
∵点A、B、C能构成以AB为底边的等腰三角形，
∴|

CA

|=|

CB

|，即9+（k-10）²=1+（4-k）²
∴k=

23

3

，
∴

CA

=(-1，-

11

3

)，

CB

=(3，

7

3

)，
∴cos∠ACB=

CA • CB

| CA |•| CB |

=-

104

130

=-

52

65

=-

4

5

．

点评：本题考查实数k的求法和求∠ACB的余弦值．是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量垂直的条件的灵活运用．