Question

无穷等比数列{a_n}中，公比为q，且所有项的和为

2

3

，则a₁的范围是

 

．

Answer 1

分析：根据数列为无穷等比数列，且所有项的和为

2

3

，得到极限存在，即公比q大于等于-1小于等于1，且不为0，当官公比q等于1时，数列为常数列，利用首项a₁表示出数列的前n项的和，解出a₁，当n趋于无穷大时a₁趋于0，得到a₁大于0，当q大于等于-1小于1时，利用等比数列的前n项和公式表示出s_n，当n趋于无穷大时，qⁿ趋于0，得到s_n=

a1

1-q

=

2

3

，解出a₁，根据当q=-1时，a₁取得最大值，即可解出a₁的取值范围，同时因为公比q不为0，得到a₁不等于

2

3

，综上，写出a₁的取值范围即可．

解答：解：因为数列{a_n}为无穷等比数列，且其所有项的和为

2

3

，即其极限存在，
故可知|q|≤1且q≠0，即-1≤q≤1且q≠0，
当q=1时，无穷等比数列{a_n}为常数列，设s_n为其所有项之和，则s_n=na₁=

2

3

，
即a₁=

2

3n

，当n→+∞时，a₁→0，即a₁＞0；
当-1≤q＜1时，s_n=

a1(1-qn)

1-q

，当n→+∞时，qⁿ→0，于是有s_n=

a1

1-q

=

2

3

，
即a₁=

2

3

（1-q），当q=-1时，a₁最大，所以得到0＜a₁≤

3

4

，
又q≠0，得到a₁≠

2

3

，
综上，a₁的范围是（0，

2

3

）∪（

2

3

，

4

3

）．
故答案为：（0，

2

3

）∪（

2

3

，

4

3

）

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，要求学生会利用极限思想解决实际问题，是一道中档题．学生求a₁范围的时候注意q不为0这个条件得到a₁≠

2

3

．