Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，

3

2

)，f(x)=(

m

+

n

)•

m．

（1）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（2）不等式f（x）≤

2

4

（|a+1|+|a|），当a∈R时恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）算出向量

m

+

n

的坐标，根据数量积的坐标运算公式与三角恒等变换公式，化简得f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)，结合x∈[0，

π

2

]利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得函数f（x）的值域；
（2）根据绝对值的性质，证出当-1≤a≤0时|a+1|+|a|的最小值为1，从而得到f（x）≤

2

4

时原不等式在a∈R时恒成立，再根据正弦函数的图象加以计算，即可得到满足条件的x的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

+

n

=(sinx+cosx，

1

2

)，

m

=(sinx，-1)
∴f(x)=(sinx+cosx)sinx-

1

2

=sin2x+sinxcosx-

1

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x
即f（x）=

2

2

（sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

）=

2

2

sin(2x-

π

4

)
当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，可得sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
∴当x∈[0，

π

2

]时，函数y=f（x）的值域是[-

1

2

，

2

2

]；
（2）∵|a+1|+|a|≥|（a+1）-a|=1
∴当-1≤a≤0时，|a+1|+|a|的最小值为1，
因此若不等式f（x）≤

2

4

（|a+1|+|a|）当a∈R时恒成立，
即函数f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)≤

2

4

恒成立，即sin(2x-

π

4

)≤

1

2

．
结合正弦函数图象，可得-

7π

6

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

6

+2kπ（k∈Z），
解之得kπ-

11π

24

≤x≤kπ+

5π

24

（k∈Z），
∴满足条件的x的取值范围为[kπ-

11π

24

，kπ+

5π

24

]，k∈Z．

点评：本题给出向量含有三角函数的坐标式，求关于向量数量积的函数的值域与最值．着重考查了平面向量数量积的公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质和函数的值域与最值等知识，属于中档题．