Question

如图1，A，D分别是矩形A₁BCD₁上的点，AB＝2AA₁＝2AD＝2，DC＝2DD₁，把四边形A₁ADD₁沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A₁B，D₁C得几何体ABA₁­DCD₁.

(1)当点E在棱AB上移动时，证明：D₁E⊥A₁D；
(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D₁­EC­D的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)见解析   (2)存在，

解：(1)证明，如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A₁(1,0,1)，D₁(0,0,1)．设E(1，t,0)，
则＝(1，t，－1)，＝(－1,0，－1)，
∴·＝1×(－1)＋t×0＋(－1)×(－1)＝0，
∴D₁E⊥A₁D.
(2)假设存在符合条件的点E.设平面D₁EC的法向量为n＝(x，y，z)，
由(1)知＝(－1,2－t,0)，
则得
令y＝，则x＝1－t，z＝1，
∴n＝是平面D₁EC的一个法向量，
显然平面ECD的一个法向量为＝(0,0,1)，
则cos〈n，〉＝
＝＝cos，
解得t＝2－ (0≤t≤2)．
故存在点E，
当AE＝2－时，二面角D₁­EC­D的平面角为.