Question

【题目】如图，三棱柱中，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若与平面所成的线面角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由平面ACC1A1⊥平面ABC，结合面面垂直的性质可得BC⊥A1C，再由B1C1∥BC，得A1C⊥平面AB1C1；（2）取AC中点M，连接A1M，由已知可得A1M⊥AC，且，令AA1＝AC＝2CB＝2，则．以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，过C且平行于A1M 的直线为z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面ACB1 与平面A1B1C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值．

（1）因为平面平面，平面平面，

平面，，所以平面，

因为平面，所以.

因为，所以.

因为是平行四边形，且，所以是菱形，.

因为，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取的中点，连接，因为是菱形，，

所以是正三角形，所以，且.

令，则.

所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，，

，.

设平面的一个法向量为，则，

所以，得，令，则，所以.

由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，

所以.

所以二面角的余弦值为.