Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC⊥底面ABC，

∠AAC=60°.(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；

(Ⅱ)已知点D满足，在直线AA上是否存在点P，使DP∥平面ABC？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 略

解析:

：(Ⅰ)∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，

∴A₁O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，

∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC.………………2分

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A(0，-1，0)，B(，0，0)，A₁(0，0，)，C(0，1，0)，；

∴.…………………4分

设平面AB₁C的法向量为n=(x,y,1)

则解得n=(-1,0,1).………6分

由cos<>=

而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角，即是向量与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小为………6分

(Ⅱ)∵而∴。…8分

又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(-，0，0).

假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z).

∴∵DP∥平面AB₁C，n=(-1，0，1)为平面AB₁C的法向量，

∴由，得……11分

又DP平面AB₁C，

故存在点P，使DP∥平面AB₁C，其从标为(0，0，)，即恰好为A₁点.………12分