Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在底面ABC内的射影O恰为线段AC的中点.

   （Ⅰ）求侧棱AA₁与平面A₁BC所成角的正弦值；

   （Ⅱ）已知点D为点B关于点O的对称点，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：以O为坐标原点，DB，OC，OA₁依次为轴、轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则点A₁(0,0,)，A(0,-1,0)，B(,0,0)，C(0,1,0)

   （Ⅰ），

设平面A₁BC的一个法向量为

则

∴=(

设直线AA₁与平面A₁BC所成角为θ

则  sinθ=|cos<,>|=

即侧棱AA₁与平面A₁BC所成角正弦值为.

   （Ⅱ）设B₁(，则

∵  

∴=  ∴

∴B₁,   

∴

设平面ACB₁的一个法向量是，

则

∴=(-1,0,1)

假设在AA₁上存在P(0,m,n)使DP∥平面AB₁C,

∵D、B关于O对称    ∴D    ∴=(,m,n)

∴=   ∴n=

故当点P与A₁重合时，DP∥平面AB₁C．