Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知点D满足

BD

=

BA

+

BC

，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出AA₁向量，平面AA₁C₁C的法向量，然后求出侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求出

BD

=

BA

+

BC

，设出P的坐标，使DP∥平面AB₁C，即

DP

与法向量共线，再求出P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，
∴A₁O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=

3

，BO⊥AC．（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
A（0，-1，0），B（

3

，0，0），A₁（0，0，

3

），
C（0，1，0），

AA1

=(0，1，

3

)；
∴

A B   1

=(

3

，2，

3

)，

AC

=(0，2，0)．（4分）
设平面AB₁C的法向量为n=（x，y，1）
则

n• A B   1 = 3 x+2y+ 3 n• AC =2y=0

解得n=（-1，0，1）．（6分）
由cos＜

AA1

，n＞=

A A   1 •n

| AA1 |•|n|

=

3

2 2

=

6

4

．
而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角，
即是向量

AA1

与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小为

6

4

．（6分）

（Ⅱ）∵

BD

=

BA

+

BC

，
而

BA

=(-

3

，-1，0)，

BC

=(-

3

，1，0)．
∴

BD

=(-2

3

，0，0)．（8分）
又∵B（

3

，0，0），∴点D的坐标为D（-

3

，0，0）．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）．
∴

DP

=(

3

，y，z)
∵DP∥平面AB₁C，n=（-1，0，1）为平面AB₁C的法向量，
∴由

AP

=λ

AA1

，得

y+1=λ 3 =λ 3

，∴y=0．（11分）
又DP?平面AB₁C，
故存在点P，使DP∥平面AB₁C，其坐标为（0，0，

3

），即恰好为A₁点．（12分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，具有探索性特点，是难度较大题目．