Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA=2ccosC．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）C=（2）

【解析】

(1)先根据正弦定理化边为角，化简即得cosC= ，解得结果，(2)先根据余弦定理得3+ab=2（a+b），再根据基本不等式得ab最大值，根据内切圆性质得内切圆半径为ab，即可求得内切圆面积S的最大值．

解：（Ⅰ）因为acosB+bcosA=2ccosCsinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，

即sin（A+B）=2sinCcosC，

而sin（A+B）=sinC＞0，则cosC=，

又C∈（0，π），

所以C=．

（Ⅱ）令△ABC的内切圆半径为R，有absin=3R，则R=ab，

由余弦定理得a2+b2-ab=（3-a-b）2，化简得3+ab=2（a+b），

而a+b≥2，故3+ab≥4，解得≥3或≤1．

若≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；

若≤1，则当a=b=1=c时，R取最大值．

综上，知△ABC的内切圆最大面积值为Smax=π（）2=．