Question

已知双曲线

y2

25

-

x2

9

=1，F₁、F₂为焦点．
（Ⅰ）若P为双曲线

y2

25

-

x2

9

=1上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积；
（Ⅱ）若双曲线C与双曲线

y2

25

-

x2

9

=1有相同的渐近线，且过点M(-3

3

，5)，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用双曲线的定义，结合余弦定理，可得r₁r₂=36，再利用S△F1PF2=

1

2

r₁r₂sin60°，可求△F₁PF₂的面积；
（Ⅱ）设出双曲线方程，代入M的坐标，即可求双曲线C的方程．

解答：解：（Ⅰ）设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则|r₁-r₂|=10①…（2分）
由余弦定理可得

r

2 1

+

r

2 2

-2r1r2•cos60°=(2

34

)2②，
①²-②得r₁r₂=36…（4分）
∴S△F1PF2=

1

2

r₁r₂sin60°=

1

2

×36×

3

2

=9

3

        …（6分）
（Ⅱ）由已知可设双曲线C的方程为

y2

25

-

x2

9

=λ(λ≠0)…（8分）
将点M(-3

3

，5)坐标代入方程得：λ=

52

25

-

27

9

=-2…（10分）
∴双曲线C方程为：

x2

18

-

y2

50

=1…（12分）

点评：本题考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查双曲线的标准方程，正确运用双曲线的定义是关键．