Question

5．已知函数f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$（e是自然对数的底数），h（x）=1-x-xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求h（x）的最大值；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，求得单调区间和极值，进而得到最值；
（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，以及指数函数的单调性即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，得f（1）=$\frac{1}{e}$，
f′（x）=$\frac{1-x-xlnx}{x{e}^{x}}$，所以k=f′（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x＞0．
所以h′（x）=-lnx-2．                                    
令h′（x）=0得，x=e^-2．
因此当x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
所以h（x）在x=e^-2处取得极大值，也是最大值．
h（x）的最大值为h（e^-2）=1+e^-2．
（Ⅲ）证明：因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=$\frac{1-x-xlnx}{{e}^{x}}$，
x＞0，g（x）＜1+e^-2等价于1-x-xlnx＜e^x（1+e^-2）．
由（Ⅱ）知h（x）的最大值为h（e^-2）=1+e^-2，故1-x-xlnx≤1+e^-2，
只需证明x＞0时，e^x＞1成立，这显然成立．
所以1-x-xlnx≤1+e-2＜e^x（1+e^-2）．
因此对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．