Question

（1）解关于x的不等式：x²+（1-a）x-a＜0，（a∈R）；
（2）设x，y为正数且2x+5y=20，问x，y为何值时，xy取得最大值？

Answer 1

分析：（1）先把不等式变形，然后根据所对应方程根的大小进行讨论，解出不等式即可；
（2）根据2x+5y=20，将xy构造成

1

10

•2x•5y即可利用基本不等式求解，从而求得xy的最大值，以及x，y的值．

解答：解：（1）原不等式可化为 （x+1）（x-a）＜0，
当a＞-1时，不等式解集为{x|-1＜x＜a}，
当a＜-1时，不等式解集为{x|a＜x＜-1}，
当a=-1时，原不等式即为（x+1）²＜0，不等式解集为∅；
（2）∵x，y为正数且2x+5y=20，
∴xy=

1

10

•2x•5y≤

1

10

(

2x+5y

2

)2=

1

10

×10²=10，
当且仅当2x=5y，即x=5，y=2时取“=”，
即x=2，y=5时，xy取得最大值10．

点评：本题考查了含参数的不等式的解法，注意分类时要不重不漏，以及基本不等式在最值问题中的应用，在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．