Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的长半轴是短半轴的

3

倍，直线x-y+

2

=0经过
椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设一条直线 l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

（1）x-y+

2

=0与x轴的交点为F：(-

2

， 0)，
∴c=

2

又 a=

3

b，c²=a²-b²=2
∴a=

3

，b=1
椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1．                             （5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，l： x=±

3

2

，A(

3

2

，

3

2

)、B(

3

2

，-

3

2

)
或A(-

3

2

，

3

2

)、B(-

3

2

，-

3

2

)
则：|AB|=

3

（6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=-(

2

3k2+1

-1)2+4≤4．                 （12分）
当且仅当

2

3k2+1

-1=0，即k=±

3

3

时等号成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=

1

2

×|AB|max×

3

2

=

3

2

．（14分）