题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若
|PF1|2
|PF2|
的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（0，+∞）B．（1，2]C．(1，
3
]		D．（1，3]
∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点
∴|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，
∴
|PF1|2
|PF2|
=
(2a+|PF2|)2
|PF2|
=
4a2
|PF2|
+4a+|PF2|≥8a，
当且仅当
4a2
|PF2|
=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号
∴|PF1|=2a+|PF2|=4a
∵|PF1|-|PF2|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故选D．
练习册系列答案
相关题目
如图，F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．
以椭圆
x2
16
+
y2
9
=1短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，-5）的双曲线的标准方程是______．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦点到右准线的距离等于焦距的
1
3
，则离心率为______．
已知双曲线C：x2-
y2
4
=1，P为C上任意一点；
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A（4，0），求|PA|的最小值．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上异于顶点的任一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，下面八个命题：
①△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=b上；
②△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=a上；
③△PF1F2的内切圆的圆心在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；
⑥|OB|=|OA|；
⑦|OA|=e|OB|；
⑧|OA|与|OB|关系不确定．
其中正确的命题的代号是______．
F1、F2是双曲线
x2
4
-
y2
3
=1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，则△F1AB的周长为______．
双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线所成的锐角是（　　）
A．45°B．30°C．60°D．90°
若双曲线
x2
9
-
y2
m
=1的渐近线方程为y=±
5
3
x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为 ______．

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