Question

【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．

详解：由双曲线方程可得，

双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即．

∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，

∴，解得，

∴双曲线的方程为，

∴双曲线的焦点为．

又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，

∴，

∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，

设点M到直线的距离为，到直线的距离为，则，

∴．

结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点F到直线的距离．

故选B．