Question

【题目】已知函数.

（1）求的最大值；

（2）当时，函数有最小值. 记的最小值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先求得导函数，然后根据导函数与0的关系求得函数的单调区间，从而求得的最大值；（2）首先求得，然后结合（1）分、求得函数的单调区间与最小值的函数解析式，再通过求导研究其的单调性，从而求得的值域.

试题解析：（1）f′(x)＝（x＞0），

当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝. …4分

（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（1）及x∈(0，e]得：

①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，

当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－. …6分

②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，

所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，

当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a). …9分

令h(a)＝G(t)＝－t，

因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1].

综上，h(a)∈[－，－1]. …12分