Question

设f(x)＝3ax²＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)方程f(x)＝0有实根；

(Ⅱ)－2＜＜－1；

(Ⅲ)设x₁，x₂是方程f(x)＝0的两个实根，则≤|x₁－x₂|＜．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(Ⅰ)若a＝0，则b＝－c，f(0)f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾， 　　∴a≠0． 　　方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)， 　　由条件a＋b＋c＝0，消去b，得： 　　Δ＝4(a2＋c2－ac)＝4[(a－c)2＋c2]＞0． 　　故方程f(x)＝0有实根． 　　(Ⅱ)由f(0)f(1)＞0，得：c(3a＋2b＋c)＞0， 　　由条件(a＋b)(2a＋b)＜0，∵a2＞0， 　　∴(1＋)(2＋)＜0，故－2＜＜－1． 　　(Ⅲ)由条件，知：x1＋x2＝，x1x2＝＝， 　　∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(＋)2＋． 　　∵－2＜＜－1，∴≤(x1－x2)2＜， 　　故≤|x1－x2|＜．

提示：

本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．