题目内容

（1）证明：函数f（x）=x+
4
x
在（2，+∞）上单调递增；
（2）探究函数f（x）=x+
a
x
（a＞0）的单调性（只需写出结论，不用证明）．
分析：（1）利用增函数的定义即可证明；
（2）利用奇函数和函数的单调性及“勾函数”的性质即可得出．
解答：解：（1）f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．
证明：设任意x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)
x1x2-4
x1x2
，
由x1＜x2得x1-x2＜0，由x1，x2∈（2，+∞）得x1x2＞4．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=x+
4
x
在（2，+∞）上单调递增．        
（2）由上及f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，可得结论：
f（x）在(-∞，-
a
]和[
a
，+∞)上是增函数，
f（x）在[-
a
，0)和(0，
a
]上是减函数．
点评：熟练掌握奇函数和函数的单调性及“勾函数”的性质是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
4x+2

（1）证明：函数f（x）关于点(
1
2
，
1
4
)对称．
（2）求f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)的值．
已知函数f(x)=
a
2
-
2x
2x+1
（a为常数）
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x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
成立．
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2
2
，求证：an≤
1
2n
（n≥2，n∈N*）．
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x+y
1-xy
)； ②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，回答下列问题．
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（3）证明：f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)＞f(
1
2
)，（n∈Z）．

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