Question

【题目】设抛物线C:与直线交于A、B两点.

（1）当取得最小值为时，求的值.

（2）在（1）的条件下，过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且的平分线与轴平行，求证：直线MN的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析，定值.

【解析】

（1）先确定直线过抛物线焦点，再根据抛物线定义求，最后根据最小值求的值；

（2）先确定PM、PN的斜率互为相反数，再设直线PM方程，与抛物线联立解得M坐标，类似可得N点坐标，最后利用斜率公式求结果.

（1）由题意知：直线过定点，该点为抛物线焦点.

联立，消去得：

设，

有，

…

，当时，

，解得

（2）证明：由已知可知直线PM、PN的斜率存在，且互为相反数

设，直线PM的方程为.

联立，消去x整理得：.

又4为方程的一个根，所以，得

同理可得

所以直线MN的斜率为定值.