题目内容
已知点F1（-4，0），F2（4，0），又P（x，y）是曲线(
)4+(
)4=1上的点，则（ ）
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
| A．|PF1|+|PF2|=10 | B．|PF1|+|PF2|＜10 | C．|PF1|+|PF2|≤10 | D．|PF1|+|PF2|≥10 |
根据方程(
)4+(
)4=1，可以联想椭圆
+
=1，
在椭圆
+
=1上取点Q（5cosα，3sinα），即x=5cosα，y=3sinα
则(
)4+(
)4=cos 4α +sin4α=2(sin2α-
) 2+
∵0≤sin2α≤1，
∴
≤(
)2+(
)2≤1
即点Q在曲线(
)4+(
)4=1的内部或在曲线上
所以椭圆
+
=1上的点在封闭曲线(
)4+(
)4=1的内部或曲线上
由题意，
+
=1是以点F1（-4.0），F2（4，0）为焦点的椭圆
∴当P点恰好取在顶点上时，此时点P在椭圆上，故有|PF1|+|PF2|=10
点P不在曲线(
)4+(
)4=1的顶点上时，必有点P在椭圆的外部，故|PF1|+|PF2|＞10
综上所述，|PF1|+|PF2|≥10
故选D．
法二：任取点P（x，y）在曲线(
)4+(
)4=1上，可令
=cosA≥0，
=sinA≥0，A∈[0，
]
则有sinA+cosA≥1，即
+
≥1由此知点P（x，y）在
+
=1上可其外部，故有|PF1|+|PF2|≥10
故选D
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
在椭圆
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
则(
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵0≤sin2α≤1，
∴
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
即点Q在曲线(
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
所以椭圆
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
由题意，
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
∴当P点恰好取在顶点上时，此时点P在椭圆上，故有|PF1|+|PF2|=10
点P不在曲线(
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
综上所述，|PF1|+|PF2|≥10
故选D．
法二：任取点P（x，y）在曲线(
| x |
| 5 |
| y |
| 3 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| π |
| 2 |
则有sinA+cosA≥1，即
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
故选D
练习册系列答案
相关题目
-
=1
-
=1（y＞0）
-
=1或 
-
=1
-
=1
-
=1（x＞0）
上的点，则（ ）