题目内容
方程sinx+cosx=
在区间[0，4π]上的所有的解的和是
| ||
| 2 |
9π
9π
．分析：用辅助角公式，将方程的左边进行合并，得
sin(x+
)=
，所以sin(x+
)=
，解这个三角方程得x=-
+2kπ或x=
+2kπ （k为整数），最后取[0，4π]上的交集，可得[0，4π]上的所有的解，从而求出它们的和．
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
解答：解：令y=sinx+cosx=
sin(x+
)
若sinx+cosx=
，则sin(x+
)=
得x+
=
+2kπ或x+
=
+2kπ （k为整数）
∴x+
=
+2kπ或x+
=
+2kπ （k为整数）
∴x=-
+2kπ或x=
+2kπ （k为整数）
取[0，4π]上的交集，得
、
、
、
、共四个值
它们的和为9π
故答案为：9π
| 2 |
| π |
| 4 |
若sinx+cosx=
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
得x+
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
∴x+
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
∴x=-
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
取[0，4π]上的交集，得
| 7π |
| 12 |
| 23π |
| 12 |
| 31π |
| 12 |
| 47π |
| 12 |
它们的和为9π
故答案为：9π
点评：本题考查了三角函数式的方程的解的问题，属于中档题．对三角函数的图象有充分的认识，结合图象解题可以加深我们对本题的理解．
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方程
=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
| |sinx| |
| x |
| A、sinφ=φcosθ |
| B、sinφ=-φcosθ |
| C、cosφ=θsinθ |
| D、sinθ=-θsinφ |